Timoshenko

Bild 5.3.2.6.1.2.1-1:

Beulen eines freien Ringes unter Außendruck [Guice94a]

Timoshenko beschreibt das Beulverhalten des freien, dünnen Ringes, der mit einem konstanten Außendruck radial belastet wird. Im Falle einer beliebig kleinen Anfangsverformung kommt es unter kritischer Belastung zum Beulen des Kreisringes, wie im (Bild 5.3.2.6.1.2.1-1) dargestellt.

Das Biegemoment M an einer beliebigen Stelle des Kreisringes kann dann aus den Gleichgewichtsbedingungen und geometrischen Zusammenhängen wie folgt abgeleitet werden:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-1:

Berechnung des Biegemomentes an einer beliebigen Stelle des Kreisringes (Timoshenko)

M₀ = Biegemoment an den Punkten A und B
w = radiale Auslenkung des Ringes
w₀ = radiale Auslenkung des Ringes an den Punkten A und B

Die Auslenkung ω des Ringes in radialer Richtung wird dabei durch die Differentialgleichung:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-2:

Differentialgleichung zur Beschreibung der Auslenkung w (Timoshenko)

Θ = Öffnungswinkel 
EI = Biegesteifigkeit des Ringes

bzw. deren allgemeine Lösung:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-3:

Berechnung der Auslenkung w (Timoshenko)

beschrieben.

Die kritische Beullast bestimmt sich dann für allgemeine Beulwellenzahlen k zu:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-4:

Berechnung der kritischen Beullast für allgemeine Beulwellenzahlen (Timoshenko)

Die verschiedenen Versagensfiguren sind für k = 2, 3, 4 im (Bild 5.3.2.6.1.2.1-2) dargestellt. Mit der kleinsten nicht-trivialen Lösung k = 2 ergibt sich die kritische Beullast des freien Rohres zu:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-5:

Kritische Beullast für k = 2 (Timoshenko)

Bild 5.3.2.6.1.2.1-2:

Darstellung zwei-, drei- sowie vierwelliger Beulfiguren

I: Fall a, k = 2 
II: Fall b, k = 3 
III: Fall c, k = 4 
 
1 Ursprungs-Rohr 
2 Beulfigur

Oft wird auch der Faktor (1-ν²) zur Berücksichtigung behinderter Querdehnung des langen Rohres in die Gleichung (5-4) (Formel 5.3.2.6.1.2.1) eingebunden. Für das vollwandige freie Rohr der Länge "1" kann die allgemeine Form dann auch geschrieben werden zu:

Formel 5.3.2.6.1.2.1-6:

Kritische Beullast für das vollwandige freie Rohr der Länge "1" (Timoshenko)